[기본개념] 다항함수의 미분법의 공식과 증명 – 부형식 수학
이 강의에서는 이미 배운 도함수의 정의를 이용하여 다항함수를 쉽고 빠르게 미분하는 방법을 알아봅니다. 공식을 활용하면 복잡한 계산 없이도 도함수를 쉽게 구할 수 있습니다.
도함수의 정의는 함수의 변화율을 나타내는 중요한 개념입니다. 함수 $f(x)$의 도함수는 $f'(x)$로 표기하며, 다음과 같이 정의됩니다.
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}$$
이 공식은 함수의 변화량을 무한히 작은 구간으로 나누어 그 변화율을 구하는 과정을 나타냅니다.
다항함수는 x의 거듭제곱으로 이루어진 함수입니다. 예를 들어, $f(x) = x^3 + 2x^2 – 5x + 1$은 다항함수입니다.
다항함수의 도함수를 구하는 방법은 도함수의 정의를 이용하여 직접 계산하거나, 미분 공식을 사용하는 방법이 있습니다.
미분 공식은 다항함수의 각 항을 미분하는 규칙을 정의합니다.
1. 상수항 미분: 상수항은 미분하면 0이 됩니다. 예를 들어, $f(x) = 5$의 도함수는 $f'(x) = 0$입니다.
2. x의 거듭제곱 미분: $x^n$의 도함수는 $nx^{n-1}$입니다. 예를 들어, $f(x) = x^3$의 도함수는 $f'(x) = 3x^2$입니다.
3. 합성함수 미분: 합성함수의 도함수는 각 함수의 도함수를 곱한 값입니다. 예를 들어, $f(x) = (x^2 + 1)^3$의 도함수는 $f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2$입니다.
다항함수의 도함수를 구하는 공식은 다음과 같습니다.
$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0$$
$$f'(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + … + a_1$$
미분 공식을 이용하면 복잡한 다항함수의 도함수를 쉽고 빠르게 구할 수 있습니다. 이러한 공식들은 도함수의 정의를 이용하여 증명할 수 있습니다.
예시:
다항함수 $f(x) = 2x^3 + 5x^2 – 3x + 1$의 도함수를 구해봅시다.
$f'(x) = 6x^2 + 10x – 3$
미분 공식을 이용하여 위와 같이 쉽게 도함수를 구할 수 있습니다.
이 강의를 통해 다항함수를 미분하는 방법을 배우고 미분 공식을 활용하여 도함수를 구하는 연습을 하면, 미분에 대한 이해를 높일 수 있습니다.
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